공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차방정식 허근

문제

삼차방정식 x3−x2−kx+k=0x ^{3} - x ^{2} - k x + k = 0의 세 근을 α\alpha, β\beta, γ\gamma라 하자. α\alpha, β\beta 중 실수는 하나뿐이고 α2=−2β\alpha ^{2} = \mathit{-} 2 \beta일 때, β2+γ2\beta ^{2} + \gamma ^{2}의 값은? (단, kk는 00이 아닌 실수이다.) [4점] ①−5- 5②−4- 4③−3- 3④−2- 2⑤−1- 1

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⑤

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해설

[출제의도] 삼차방정식의 근에 대한 조건을 이용하여 문제를 해결한다. x3−x2−kx+k=0{x ^{3} - x ^{2} - kx + k = 0}에서 x2(x−1)−k(x−1)=0{x ^{2} \left( x - 1 \right) - k \left( x - 1 \right) = 0} (x−1)(x2−k)=0{\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} - k \right) = 0} x=1{x = 1} 또는 x2=k{x ^{2} = k} 0{0}이 아닌 실수 k{k}에 대하여 k>0{k > 0}이면 주어진 방정식의 모든 근이 실수이므로 α{\alpha}, β{\beta} 중 실수는 하나뿐이라는 조건을 만족시키지 않는다. k<0{k < 0}이면 주어진 방정식의 실근은 x=1{x = 1}뿐이고, α{\alpha}, β{\beta} 중에서 실수가 존재하므로 α=1{\alpha = 1} 또는 β=1{\beta = 1}이다. (ⅰ) α=1{\alpha = 1}일 때 α2=−2β{\alpha ^{2} = \mathit{-} 2 \beta}에서 β{\beta}=−12α2\displaystyle {= \mathit{-} \frac{1}{2} \alpha ^{2}}=−12\displaystyle {= \mathit{-} \frac{1}{2}}이므로 α{\alpha}, β{\beta} 중 실수는 하나뿐이라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) β=1{\beta = 1}일 때 α2=−2β{\alpha ^{2} = \mathit{-} 2 \beta}에서 α2=−2{\alpha ^{2} = \mathit{-} 2} 이때 α{\alpha}, γ{\gamma}는 방정식 x2=k{x ^{2} = k}의 근이므로 k{k}=α2{= \alpha ^{2}}=−2{= \mathit{-} 2}이고 γ2{\gamma ^{2}}=k{= k}=−2{= \mathit{-} 2} (ⅰ), (ⅱ)에서 β=1{\beta = 1}, γ2=−2{\gamma ^{2} = \mathit{-} 2} 따라서 β2+γ2{\beta ^{2} + \gamma ^{2}}=12+(−2){= 1 ^{2} + ( - 2 )}=−1{= \mathit{-} 1}

태그

#삼차방정식#허근#인수분해

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