공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 허근

문제

삼차방정식 $x ^{3} + x ^{2} - 2 = 0$ 의 한 허근을 $a + b i$ 라 할 때, $\left| a \right| + \left| b \right|$ 의 값은? (단, $a$ , $b$ 는 실수이고, $\displaystyle i = \sqrt{- 1}$ 이다.) [3점] ① $\mathrm{4}$ ② $\displaystyle \frac{7}{2}$ ③ $\mathrm{3}$ ④ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ⑤ $\mathrm{2}$

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⑤

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해설

$f ( x ) = x ^{3} + x ^{2} - 2$ 라 하면 $f ( 1 ) = 0$ 이므로, $f ( x )$ 는 $x - 1$ 을 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 $f ( x )$ 를 인수분해하면

$1$	$1$	$1$	$0$	$- 2$
		$1$	$2$	$2$
	$1$	$2$	$2$	$0$

$x ^{3} + x ^{2} - 2 = ( x - 1 ) \left( x ^{2} + 2 x + 2 \right)$ 이므로 $( x - 1 ) \left( x ^{2} + 2 x + 2 \right) = 0$ 에서 $x = 1$ 또는 $x ^{2} + 2 x + 2 = 0$ $x ^{2} + 2 x + 2 = 0$ 에서 $\displaystyle x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 ^{2} - 4 \times 1 \times 2}}{2}$ $\displaystyle = \frac{- 2 \pm 2 i}{2} = - 1 \pm i$ $a = - 1$ , $b = 1$ 또는 $a = - 1$ , $b = - 1$ 따라서 $\left| a \right| + \left| b \right| = 2$

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