삼차방정식 해집합

[출제의도] 방정식의 공통근의 개수를 이용하여 공통이 아닌 근의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $x ( x ^{2} + ax + b ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x ^{2} + ax + b = 0$ $x ( x ^{2} + bx + a ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x ^{2} + bx + a = 0$ $n ( A \cap B ) = 2$이므로 두 이차방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$, $x ^{2} + bx + a = 0$ 이 공통근을 갖는다. 공통근을 $\alpha$라 하면 $\alpha ^{2} + a \alpha + b = 0$, $\alpha ^{2} + b \alpha + a = 0$ 두 식을 변끼리 빼면 $\alpha ( a - b ) + b - a = ( a - b ) ( \alpha - 1 ) = 0$ $a \neq b$이므로 $\alpha = 1$ $x ^{2} + ax + b = 0$, $x ^{2} + bx + a = 0$에 $x = 1$을 대입하면 $a + b = - 1$ $x ^{2} + ax + b = 0$의 한 근이 $1$이므로 다른 한 근은 $b$ $x ^{2} + bx + a = 0$의 한 근이 $1$이므로 다른 한 근은 $a$ $n ( A \cup B ) = 4$, $n ( A \cap B ) = 2$이므로 $a$, $b$는 모두 $0$도 아니고 $1$도 아니다. ∴ $A = \left\{ 0 , 1 , a \right\}$, $B = \left\{ 0 , 1 , b \right\}$ 따라서 $( A \cup B ) - ( A \cap B )$$= \left\{ a , b \right\}$이므로 원소의 합은 $a + b = - 1$