공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 근의 세제곱합

문제

삼차방정식 x3−10x+9=0x ^{3} - 10 x + 9 = 0의 세 근을 α\alpha, β\beta, γ\gamma라 할 때, α3+β3+γ33\displaystyle \sqrt[3]{\alpha ^{3} + \beta ^{3} + \gamma ^{3}}의 값은? [3점] ①−3- 3②−1- 1③00④11⑤33

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①

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해설

[출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기 α3−10α+9=0\alpha ^{3} - 10 \alpha + 9 = 0 … ㉠ β3−10β+9=0\beta ^{3} - 10 \beta + 9 = 0 … ㉡ γ3−10γ+9=0\gamma ^{3} - 10 \gamma + 9 = 0 … ㉢ ㉠, ㉡, ㉢ 을 더하면 α3+β3+γ3−10(α+β+γ)+27=0\alpha ^{3} + \beta ^{3} + \gamma ^{3} - 10 \left( \alpha + \beta + \gamma \right) + 27 = 0이다. 근과 계수와의 관계에 의해 α+β+γ=0\alpha + \beta + \gamma = 0이므로 α3+β3+γ3=−27\alpha ^{3} + \beta ^{3} + \gamma ^{3} = - 27 ∴α3+β3+γ33=−3\displaystyle \therefore \sqrt[3]{\alpha ^{3} + \beta ^{3} + \gamma ^{3}} = - 3

태그

#삼차방정식#근과 계수의 관계

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