삼차방정식 근의 절댓값 합 최솟값

$\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{3} - x$라 놓으면 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{3} - x$과 직선 $y = k$의 교점의 $x$좌표가 주어진 삼차방정식의 세 실근이다. $\displaystyle \sqrt{3}$ $\gamma$ $\alpha$ $\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{3} - x$ $\displaystyle - \sqrt{3}$ $\beta$

곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{3} - x$는 원점에 대하여 대칭이며 $\displaystyle \frac{1}{3} x ^{3} - x = 0$에서 $\displaystyle x = - \sqrt{3} , 0 , \sqrt{3}$ 이 때, $\alpha < \beta < \gamma$ 라 해도 문제의 뜻에 어긋나지 않으며 $\displaystyle - \sqrt{3} \leq \alpha < \beta \leq 0 < \sqrt{3} \leq \gamma$ 한편, $\displaystyle \frac{1}{3} x ^{3} - x - k = \frac{1}{3} ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma )$에서 $\alpha + \beta + \gamma = 0$ $\therefore \left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = - \alpha - \beta + \gamma$$\displaystyle = 2 \gamma \geq 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore m ^{2} = ( 2 \sqrt{3} ) ^{2} = 12$