공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 근의 제곱합

문제

xx에 대한 삼차방정식 x3−ax2+3x+2=0x ^{3} - ax ^{2} + 3 x + 2 = 0의 세 근을 1,α,β1 , \alpha , \beta라 할 때, α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}의 값은? [3점] ①2929②3131③3333④3535⑤3737

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①

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해설

[출제의도] 삼차방정식을 풀 수 있다. x=1x = 1이 주어진 방정식의 근이므로 대입하면 1−a+3+2=01 - a + 3 + 2 = 0 ∴ a=6a = 6 주어진 방정식은 x3−6x2+3x+2=0x ^{3} - 6 x ^{2} + 3 x + 2 = 0, (x−1)(x2−5x−2)=0( x - 1 ) ( x ^{2} - 5 x - 2 ) = 0 따라서, α,β\alpha , \beta는 방정식 x2−5x−2=0x ^{2} - 5 x - 2 = 0의 두 근이다. ∴ α+β=5\alpha + \beta = 5, αβ=−2\alpha \beta = - 2 ∴ α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha ^{2} + \beta ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta=25−2(−2)= 25 - 2 ( - 2 )=29= 29

태그

#삼차방정식#근과 계수의 관계

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