공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차방정식 근의 분리

문제

xx에 대한 삼차방정식 x3−5x2+(k−9)x+k−3=0x ^{3} - 5 x ^{2} + ( k - 9 ) x + k - 3 = 0이 11보다 작은 한 근과 11보다 큰 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 정수 kk의 값의 합은? [4점] ①2424②2626③2828④3030⑤3232

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④

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해설

[출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 활용하여 문제해결하기 삼차방정식 x3−5x2+(k−9)x+k−3=0x ^{3} - 5 x ^{2} + ( k - 9 ) x + k - 3 = 0에서 조립제법을 이용하여 인수분해하면

−1- 111−5- 5k−9k - 9k−3k - 3
−1- 166−k+3- k + 3
11−6- 6k−3k - 300

x3−5x2+(k−9)x+k−3x ^{3} - 5 x ^{2} + ( k - 9 ) x + k - 3=(x+1)(x2−6x+k−3)= ( x + 1 ) ( x ^{2} - 6 x + k - 3 )이다. x=−1x = - 1은 주어진 삼차방정식의 해이다. 따라서 x2−6x+k−3=0x ^{2} - 6 x + k - 3 = 0은 11보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. f(x)=x2−6x+k−3f ( x ) = x ^{2} - 6 x + k - 3이라 하면 11보다 큰 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 판별식을 DD라 하면 D4=9−k+3>0\displaystyle \frac{D}{4} = 9 - k + 3 > 0이므로 k<12k < 12이다. ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} 또한, f(1)=1−6+k−3>0f ( 1 ) = 1 - 6 + k - 3 > 0이므로 k>8k > 8이다. ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡}

y=f(x)y = f ( x )

따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 kk의 값은 8<k<128 < k < 12이므로 정수 kk는 9,10,119 , 10 , 11이다. 그러므로 모든 정수 kk의 값의 합은 3030이다.

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