삼차방정식 근 관계

$x ^{3} - 6 x ^{2} + \left( k + 8 \right) x - 2 k = \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} - 4 x + k \right)$ 이차방정식 $x ^{2} - 4 x + k = 0$의 두 실근을 $x _{1}$, $x _{2}$ $\left( x _{1} < x _{2} \right)$라 하자. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $x _{1} + x _{2} = 4$이므로 $x _{1} < 2 < x _{2}$ $\beta = 2$, $x _{1} = \alpha$, $x _{2} = \gamma$ $\alpha + \gamma = 4$, $\alpha \gamma = k$ $2 \alpha + \beta = 2 \gamma$이므로 $\beta = 2 \gamma - 2 \alpha = 2 \left( \gamma - \alpha \right) = 2$ $\gamma - \alpha = 1$ $\left( \gamma - \alpha \right) ^{2} = \left( \gamma + \alpha \right) ^{2} - 4 \gamma \alpha$ $1 = 16 - 4 k$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{15}{4}$