공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 근

문제

$x$ 에 대한 삼차방정식 $ax ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0$ 의 한 근이 $1$ 일 때, 나머지 두 근의 곱은? (단, $a$ 는 상수이다.) [3점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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③

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[출제의도] 삼차방정식 이해하기 $ax ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0$ 의 한 근이 $1$ 이므로 $a + 1 + 1 - 3 = 0$ 이고 $a = 1$ 이다. 그러므로 주어진 방정식은 $x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0$ 이다. 조립제법을 이용하면

$1$	$1$	$1$	$1$	$- 3$
		$1$	$2$	$3$
	$1$	$2$	$3$	$0$

$x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + 2 x + 3 \right)$ 이다. 그러므로 삼차방정식 $x ^{3} + x ^{2} + x - 3 = 0$ 의 나머지 두 근은 이차방정식 $x ^{2} + 2 x + 3 = 0$ 의 두 근과 같다. 따라서 두 근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 하면 두 근의 곱 $\alpha \beta = 3$ 이다.

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