삼차·이차함수 극한 조건

출제의도 : 함수의 극한의 성질을 이용하여 두 함수를 정한 후 함숫값의 합을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 서로 다른 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b ( a < b )$라 하면 삼차함수 $f ( x )$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 $f ( x ) - x = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c )$ (단, $c$는 상수) 즉, $f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) + x$ 또한 이차함수 $g ( x )$의 최고차항의 계수도 $1$이므로 $g ( x ) - x = ( x - a ) ( x - b )$ 즉, $g ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) + x$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{( f ( x ) - x ) ( g ( x ) - x )}{x ^{3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{( x - a ) ^{2} ( x - b ) ^{2} ( x - c )}{x ^{3}}$ 의 값이 존재하고 $a < b$이므로 $a = 0$, $c = 0$또는 $b = 0$, $c = 0$ (i) $a = 0$, $c = 0$일 때 $f ( x ) = x ^{2} ( x - b ) + x$ $g ( x ) = x ( x - b ) + x$ 이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{( f ( x ) + x ) ( g ( x ) + x )}{x ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\left\{ x ^{2} ( x - b ) + 2 x \right\} \left\{ x ( x - b ) + 2 x \right\}}{x ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{{x ( x - b ) + 2} ( x - b + 2 )}{x}$ ---㉠ ㉠의 값이 존재하고, $x \rightarrow 0$일 때 (분모) $\rightarrow 0$이므로 (분자) $\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {x ( x - b ) + 2} ( x - b + 2 ) = 0$에서 $2 ( - b + 2 ) = 0$ $b = 2$ 따라서 $f ( x ) = x ^{2} ( x - 2 ) + x = x ^{3} - 2 x ^{2} + x$ $g ( x ) = x ( x - 2 ) + x = x ^{2} - x$ 이므로 $f ( 3 ) + g ( 8 )$ $= \left( 3 ^{3} - 2 \times 3 ^{2} + 3 \right) + \left( 8 ^{2} - 8 \right)$ $= 12 + 56$ $= 68$ (ii) $b = 0 , c = 0$일 때 $f ( x ) = x ^{2} ( x - a ) + x$ $g ( x ) = x ( x - a ) + x$ 이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{( f ( x ) + x ) ( g ( x ) + x )}{x ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\left\{ x ^{2} ( x - a ) + 2 x \right\} \left\{ x ( x - a ) + 2 x \right\}}{x ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{{x ( x - a ) + 2} ( x - a + 2 )}{x}$ ---㉡ ㉡의 값이 존재하고, $x \rightarrow 0$일 때 (분모) $\rightarrow 0$이므로 (분자) $\rightarrow 0$이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {x ( x - a ) + 2} ( x - a + 2 ) = 0$에서 $2 ( - a + 2 ) = 0$ $a = 2$ 이것은 $a < b$라는 조건을 만족시키지 않는다. (i), (ii)에 의하여 $f ( 3 ) + g ( 8 ) = 68$