사인함수와 로그방정식

$\displaystyle f \left( x \right) = a \sin \frac{\pi}{b} x + a ^{2}$은 $x = 0$ 또는 $x = b$에서 최댓값 $a ^{2}$을 가지고, $\displaystyle x = \frac{b}{2}$에서 최솟값 $a + a ^{2}$을 가지므로 조건 (가)에 의하여 $a ^{2} - \left( a + a ^{2} \right) = - a = 2$이다. 그러므로 $a = - 2$이다. 방정식 $\log \left\{ \left( f \left( x \right) \right) ^{2} - 5 \right\} = \log \left\{ 5 f \left( x \right) - 11 \right\}$에서 진수 조건에 의하여 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - 5 > 0$이고 $5 f \left( x \right) - 11 > 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) > \sqrt{5}$이다. $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - 5 = 5 f \left( x \right) - 11$이므로 $\left\{ f \left( x \right) - 3 \right\} \left\{ f \left( x \right) - 2 \right\} = 0$이다. 조건 (나)에 의하여 방정식 $f \left( x \right) = 3$의 모든 실근의 합은 $6$이다.

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $\displaystyle x = \frac{b}{2}$에 대하여 대칭이고 방정식 $f \left( x \right) = 3$은 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$를 가진다. $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{b}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$에서 $b = 6$이다. 따라서 $a + b = - 2 + 6 = 4$