대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사인함수와 직각삼각형

문제

그림과 같이 두 양수 $a$ , $b$ 에 대하여 함수 $f ( x ) = a \sin bx$ $\displaystyle \left( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{b} \right)$ 의 그래프가 직선 $y = a$ 와 만나는 점을 $\mathrm{A}$ , $x$ 축과 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. $\displaystyle \angle \mathrm{OAB} \mathit{=} \frac{\pi}{2}$ 인 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이가 $4$ 일 때, $a + b$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [4점]

$y = f ( x )$

① $\displaystyle 1 + \frac{\pi}{6}$ ② $\displaystyle 2 + \frac{\pi}{6}$ ③ $\displaystyle 2 + \frac{\pi}{4}$ ④ $\displaystyle 3 + \frac{\pi}{4}$ ⑤ $\displaystyle 3 + \frac{\pi}{3}$

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기 함수 $f \left( x \right) = a \sin bx$ 의 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{b}$ 이므로 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \frac{\pi}{2 b} , a \right)$ , $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( \frac{\pi}{b} , 0 \right)$ 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = {\overline{\mathrm{BH}}} = {\overline{\mathrm{AH}}} = a$ 이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{b} = 2 a$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는 $4$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 a {\times} a = 4$ 즉, $a = 2$ , $\displaystyle b = \frac{\pi}{2 a} = \frac{\pi}{4}$ 따라서 $\displaystyle a + b = 2 + \frac{\pi}{4}$

$y = f \left( x \right)$

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