사인함수 교점 합

함수 $\displaystyle y = a \sin \frac{\pi}{4} x + b$의 주기는 $8$, 치역은 $\left\{ y \left| b - a \leq y \leq b + a \right\} \right.$ 정수 $k$에 대하여 $A _{k} = \left\{ x \left| f \left( x \right) = k \right\} \right.$라 할 때, $i \neq j$이면 $A _{i} \cap A _{j} = \emptyset$ 임의의 집합 $X \left( \neq \emptyset \right)$에 대하여 집합 $X$의 모든 원소의 합을 $S \left( X \right)$라 하자. $A _{b + a} = \left\{ 2 \right\}$, $S \left( A _{b + a} \right) = 2$ $A _{b} = \left\{ 0 , 4 , 8 \right\}$, $S \left( A _{b} \right) = 12$ $A _{b - a} = \left\{ 6 \right\}$, $S \left( A _{b - a} \right) = 6$ 집합 $A = \left\{ x \left| f \left( x \right) = n , n \right. \right.$은 자연수$\left. \right\}$라 할 때, $\left( A _{b} \cup A _{b + a} \right) \subset A$, $S \left( A _{b} \cup A _{b + a} \right) = 14$ (ⅰ) $b = 1$인 경우 (ⅰ-①) $a = 1$일 때 $\displaystyle f \left( x \right) = \sin \frac{\pi}{4} x + 1$이고 $A _{b} \cup A _{b + a} = A$, $S \left( A \right) = 14$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ- ②) $a \geq 2$일 때 $b < m < b + a$인 정수 $m$에 대하여 $S \left( A _{m} \right) = 4$, $\left( b + a \right) - b - 1 = 2$, $a = 3$ $A _{b} \cup A _{b + 1} \cup A _{b + 2} \cup A _{b + 3} = A$, $S \left( A \right) = 22$ (ⅱ) $b \geq 2$인 경우 (ⅱ- ①) $a = 1$일 때 $\displaystyle f \left( x \right) = \sin \frac{\pi}{4} x + b$이고 $A _{b - a} \cup A _{b} \cup A _{b + a} = A$, $S \left( A \right) = 20$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ- ②) $a \geq 2$일 때 $b - a < b - 1 < b$, $S \left( A _{b - 1} \right) = 12$ $\left( A _{b - 1} \cup A _{b} \cup A _{b + a} \right) \subset A$, $S \left( A _{b - 1} \cup A _{b} \cup A _{b + a} \right) = 26$ $S \left( A \right) > 22$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a = 3$, $b = 1$ $a ^{2} + b ^{2} = 10$