대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사인함수 교점 개수

문제

$0 {\leq} x {\leq} 2 \pi$ 에서 정의된 함수 $y = a \sin 3 x + b$ 의 그래프가 두 직선 $y = 9$ , $y = 2$ 와 만나는 점의 개수가 각각 $3 , 7$ 이 되도록 하는 두 양수 $a , b$ 에 대하여 $a \times b$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

함수 $y = a \sin 3 x + b$ 의 그래프의 주기가 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$ 이므로 $0 {\leq} x {\leq} 2 \pi$ 에서 함수 $y = a \sin 3 x + b$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $y = a \sin 3 x + b$ 의 그래프가 직선 $y = k$ 와 만나는 점의 개수는 $k = - a + b$ 또는 $k = a + b$ 일 때, $3$ $k = b$ 일 때, $7$ 이므로 $b = 2$ 이고, $- a + 2 = 9$ 또는 $a + 2 = 9$ $a$ 가 양수이므로 $a = 7$ 따라서 $a \times b = 7 \times 2 = 14$

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