사인함수 그래프와 직선

[출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질을 활용하여 문제를 해결한다. 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times 5 = \frac{15}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 3$, 이때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} + 6 = 9$ 함수 $y = f ( x )$의 주기가 $2 b$이므로 $\displaystyle 2 \mathit{b} = {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{BC}}} = 12$, $b = 6$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 $x$좌표가 $3$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 5 \right)$이다. 점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점이므로 $\displaystyle f \left( \frac{3}{2} \right) = 5$에서 $\displaystyle a \sin \frac{\pi}{4} + 1 = 5$, $\displaystyle a = 4 \sqrt{2}$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2}$$\displaystyle = \left( 4 \sqrt{2} \right) ^{2} + 6 ^{2}$$= 32 + 36$$= 68$