사인함수 그래프의 계수

[출제의도] 삼각함수 이해하기 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = 3 \sin \frac{\pi ( x + a )}{2} + b$에서 최댓값은 $3 + b = 5$이고 최솟값은 $- 3 + b = \mathit{-} 1$이므로 $b = 2$ 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = 3 \sin \frac{\pi}{2} \left( x + a \right) + 2$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = 3 \sin \frac{\pi}{2} x + 2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- a$만큼 평행이동한 것이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x + p \right) = f \left( x \right)$를 만족하는 최소의 양수 $p$가 $4$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $4$이다. 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = 3 \sin \frac{\pi}{2} x + 2$의 그래프와 일치하고 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $4$이므로 $a = 4 k$($k$는 정수)이다. $a$가 양수일 때 $a$의 최솟값은 $4$이므로 $a \times b$의 최솟값은 $8$