사인함수 그래프

$- 3 \leq x \leq 3$에서 정의된 함수 $f \left( x \right) = a \sin \left\{ \pi \left( x - b \right) \right\} - 1$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\pi} = 2$이다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $- 3 \leq x \leq 3$에서 같은 모양이 $3$번 반복된다. 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $a - 1$이고, 최솟값은 $- a - 1$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$이 서로 다른 네 점에서 만나기 위해서는 최댓값 $a - 1$이 $\displaystyle \frac{1}{2}$보다 크거나 같아야 한다. 즉 $\displaystyle a \geq \frac{3}{2}$이다. (ⅰ) $\displaystyle a - 1 > \frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle a > \frac{3}{2}$일 때 이때 함수 $f \left( x \right)$는 한 주기 내에서 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$과 항상 서로 다른 두 점에서 만난다. 이때 $0 < b < 2$인 모든 $b$에 대하여 $- 3 \leq x \leq 3$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$의 교점의 개수는 항상 $6$ 또는 $7$이다.

(ⅱ) $\displaystyle a - 1 = \frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$일 때

이때 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로, 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$은 곡선 $y = f \left( x \right)$에 접한다. $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2}$에서 $\sin \left\{ \pi \left( x - b \right) \right\} = 1$, $\displaystyle \pi \left( x - b \right) = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi$ ($n$은 정수) $\therefore$$\displaystyle x = b + \frac{1}{2} + 2 n$ 이 교점의 $x$좌표가 $- 3 \leq x \leq 3$에 정확히 $4$개 포함되어야 하므로 $\displaystyle - 3 \leq b + \frac{1}{2} + 2 n \leq 3$, $\displaystyle - \frac{7}{2} - b \leq 2 n \leq \frac{5}{2} - b$ $\displaystyle - \frac{7}{4} - \frac{b}{2} \leq n \leq \frac{5}{4} - \frac{b}{2}$ 이때 정수 $n$이 속하는 범위 $\displaystyle - \frac{7}{4} - \frac{b}{2} \leq n \leq \frac{5}{4} - \frac{b}{2}$의 양 끝값의 차는 $\displaystyle \left( \frac{5}{4} - \frac{b}{2} \right) - \left( - \frac{7}{4} - \frac{b}{2} \right) = 3$ 으로 일정하다. 이 범위의 양 끝값의 차가 정확히 $3$이므로, 범위 안에 정수 $n$이 정확히 $4$개 존재하려면 범위의 양 끝값이 정수이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \frac{5}{4} - \frac{b}{2}$가 정수이어야 하므로 $\displaystyle \frac{b}{2} = \frac{5}{4} - k$ ($k$는 정수), $\displaystyle b = \frac{5}{2} - 2 k$ 이때 $0 < b < 2$이므로 $\displaystyle 0 < \frac{5}{2} - 2 k < 2$ $- 2.5 < - 2 k < - 0.5$, $0.25 < k < 1.25$ 이를 만족하는 정수 $k$는 $1$뿐이므로 $\displaystyle b = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$ 이때 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{b}{2}$ 즉, $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{1}{4}$에서 $\displaystyle \frac{3}{2} \sin \left\{ \pi \left( x - \frac{1}{2} \right) \right\} - 1 = - \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{3}{2} \sin \left\{ \pi \left( x - \frac{1}{2} \right) \right\} = \frac{3}{4}$, $\displaystyle \sin \left\{ \pi \left( x - \frac{1}{2} \right) \right\} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \pi \left( x - \frac{1}{2} \right) = \theta$라 하면 $- 3 \leq x \leq 3$에서 $\displaystyle - \frac{7}{2} \pi \leq \theta \leq \frac{5}{2} \pi$ 이 범위에서 $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$을 만족하는 $\theta$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{13}{6} \pi$이므로 $\displaystyle \pi \left( x - \frac{1}{2} \right) = \frac{13}{6} \pi$, $\displaystyle x - \frac{1}{2} = \frac{13}{6}$, $\displaystyle x = \frac{8}{3}$ 이 값은 $- 3 \leq x \leq 3$을 만족하므로 구하는 실수 $x$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{8}{3}$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 실수 $x$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{8}{3}$이다.