사인함수 두 점 통과

[출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[ - \frac{\pi}{a ,} \frac{2 \pi}{a} \right]$에서 $\displaystyle 0 < a < \frac{4}{7}$이므로 $\displaystyle - \frac{\pi}{a} < \mathit{-} \frac{7}{4} \pi$, $\displaystyle \frac{7 \pi}{2} < \frac{2 \pi}{a}$이다. 함수 $f ( x ) = 2 \sin \left( ax \right) + b$의 그래프가 두 점 $\displaystyle \mathrm{A} \left( - \frac{\pi}{2} , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{7}{2} \pi , 0 \right)$을 지나므로 $\displaystyle f \left( - \frac{\pi}{2} \right) = 2 \sin \left( - \frac{a}{2} \pi \right) + b$$\displaystyle = \mathit{-} 2 \sin \left( \frac{a}{2} \pi \right) + b$$= 0$ $\displaystyle f \left( \frac{7}{2} \pi \right) = 2 \sin \left( \frac{7 a}{2} \pi \right) + b = 0$ 따라서 $\displaystyle \sin \left( \frac{7 a}{2} \pi \right) = \mathit{-} \sin \left( \frac{a}{2} \pi \right)$ $\displaystyle 0 < a < \frac{4}{7}$에서 $\displaystyle 0 < \frac{a}{2} \pi < \frac{2}{7} \pi$, $\displaystyle 0 < \frac{7 a}{2} \pi < 2 \pi$ 이므로 $\displaystyle \frac{7 a}{2} \pi = 2 \pi - \frac{a}{2} \pi$ 또는 $\displaystyle \frac{7 a}{2} \pi = \pi + \frac{a}{2} \pi$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ (ⅰ) $\displaystyle a = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle f ( x ) = 2 \sin \left( \frac{1}{2} x \right) + b$에서 $\displaystyle f \left( - \frac{\pi}{2} \right)$$\displaystyle = 2 \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right) + b$$\displaystyle = 2 \times \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + b$ $\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{2} + b = 0$ 이므로 $\displaystyle b = \sqrt{2}$ 이는 $b$는 유리수라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle a = \frac{1}{3}$일 때 $\displaystyle f ( x ) = 2 \sin \left( \frac{1}{3} x \right) + b$에서 $\displaystyle f \left( - \frac{\pi}{2} \right)$$\displaystyle = 2 \sin \left( - \frac{\pi}{6} \right) + b$$\displaystyle = 2 \times \left( - \frac{1}{2} \right) + b$$= \mathit{-} 1 + b = 0$ 이므로 $b = 1$ 이때 $\displaystyle f \left( \frac{7}{2} \pi \right)$$= 0$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$, $b = 1$이고 $\displaystyle 30 \left( a + b \right) = 30 \times \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = 40$