사인곡선과 정삼각형

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = 3 \sin \frac{\pi}{2} x$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$ 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = - t$가 만나는 점의 $x$좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha \left( 2 < \alpha < 3 \right)$이라 할 때, 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 ${\mathrm{A}} \mathit{(} \alpha , - t )$, ${\mathrm{B}} \mathit{(} \alpha + 4 , - t )$라 하자. 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{\alpha + ( \alpha + 4 )}{2} = \alpha + 2$ 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표는 $f \left( \alpha + 2 \right)$$\displaystyle = 3 \sin \left\{ \frac{\pi}{2} \times \left( \alpha + 2 \right) \right\}$ $\displaystyle = 3 \sin \left( \frac{\pi}{2} \alpha + \pi \right) = - 3 \sin \frac{\pi}{2} \alpha$ $= - f \left( \alpha \right) = t$ 이므로 점 ${\mathrm{C}} \mathit{(} \alpha + 2 , t )$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 한 변의 길이가 $\mathrm{4}$인 정삼각형이므로 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = f \left( \alpha + 2 \right) - \left( - t \right) = t - \left( - t \right) = 2 \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle t = \sqrt{3}$