사인곡선 선분 길이

점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표를 $\displaystyle a \left( 0 < a < \frac{\pi}{2} \right)$라 하자. 곡선 $y = \sin x$가 직선 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$에 대하여 대칭이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 $\pi - a$ $\sin a = k$에서 $\displaystyle - \sqrt{1 - k ^{2}} = - \sqrt{1 - \sin ^{2} a} = - \cos a$이고 $\displaystyle \sin \left( \frac{3}{2} \pi \pm a \right) = - \cos a$이며, 곡선 $y = \sin x \left( 0 \leq x \leq 2 \pi \right)$와 직선 $\displaystyle y = - \sqrt{1 - k ^{2}}$의 교점은 ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$뿐이므로 두 점 ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$의 $x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi - a$, $\displaystyle \frac{3}{2} \pi + a$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \left( \pi - a \right) - a = \pi - 2 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \left( \frac{3}{2} \pi + a \right) - \left( \frac{3}{2} \pi - a \right) = 2 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} - {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 a - \left( \pi - 2 a \right) = 4 a - \pi = \frac{2}{9} \pi$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{4} \times \left( \frac{2}{9} \pi + \pi \right) = \frac{11}{36} \pi$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \pi - 2 \times \frac{11}{36} \pi = \frac{7}{18} \pi$