사인곡선 넓이 극한

곡선 $y = \sin 2 x$는 원점에 대하여 대칭이므로 곡선과 두 선분 $\mathrm{PR}$, $\mathrm{OR}$로 둘러싸인 부분의 넓이는, 곡선과 두 선분 $\mathrm{QT}$, $\mathrm{OT}$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 따라서 구하는 넓이는 삼각형 $\mathrm{QRT}$의 넓이와 같다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{TR}}} = 2 {\mathrm{\overline{OP}}} \mathit{=} 2 \sqrt{t ^{2} + \sin ^{2} 2 t}$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\left( t , \sin 2 t \right)$이므로 $\mathrm{Q} \mathit{\left( - t , - \sin 2 t \right)}$ 따라서 선분 $\mathrm{TR}$을 밑변으로 하는 삼각형 $\mathrm{QRT}$의 높이는 $\sin 2 t$이다. $\therefore$$S ( t )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sin 2 t \times 2 \sqrt{t ^{2} + \sin ^{2} 2 t}$$\displaystyle = \sin 2 t \sqrt{t ^{2} + \sin ^{2} 2 t}$ $\therefore$$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{S ( t )}{t ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{{\sin 2 t} \sqrt{t ^{2} + \sin ^{2} 2 t}}{t ^{2}}$ $\displaystyle = 2 \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \left( \frac{\sin 2 t}{2 t} \right) \sqrt{1 + 4 \left( \frac{\sin 2 t}{2 t} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = 2 \times 1 \times \sqrt{1 + 4 \times 1 ^{2}}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle k = 2 \sqrt{5}$이므로 $k ^{2} = 20$