사인곡선 두 접선 각

곡선 $y = \sin x \left( 0 < x < \pi \right)$와 직선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{2}$이 만나는 서로 다른 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$에서 $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{2}{3} \pi$ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 각각 $\displaystyle x _{1} = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle x _{2} = \frac{2}{3} \pi$라 하자. $y = \sin x$를 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠에 의하여 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$에서의 접선의 기울기를 각각 $m _{1}$, $m _{2}$라 하면 $\displaystyle m _{1} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle m _{2} = \cos \frac{2}{3} \pi = - \frac{1}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이때 두 접선이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이므로 $\displaystyle \tan \theta = \left| \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} \times m _{2}} \right|$ ㉡에 의하여 $\displaystyle \tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - \left( - \frac{1}{2} \right)}{1 + \frac{1}{2} \times \left( - \frac{1}{2} \right)} \right| = \left| \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} \right| = \left| \frac{1}{\frac{3}{4}} \right| = \frac{4}{3}$