사인그래프 교점 합

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 문제 해결하기 $\displaystyle f \left( x \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{2 ^{n}} x \right)$라 하자. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{2 ^{n}}} = 2 ^{n + 1}$, 최댓값은 $2$, 최솟값은 $- 2$이다. 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle 0 < \frac{1}{n} < 2$이므로 $0 \leq x \leq 2 ^{n + 1}$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n}$은 서로 다른 두 점에서 만난다.

만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha _{n} , \beta _{n}$이라 하면 $\beta _{n} = 2 ^{n} - \alpha _{n}$이므로 $x _{n} = \alpha _{n} + \beta _{n} = 2 ^{n}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} x _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{6} 2 ^{n} = \frac{2 \times \left( 2 ^{6} - 1 \right)}{2 - 1} = 126$