사인법칙과 삼각형 넓이

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형에 관한 문제를 해결한다. 삼각형 $\mathrm{PBC}$에서 $\mathrm{\angle} BPC = 180 ^\circ - \left( 30 ^\circ + 15 ^\circ \right) = 135 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{PBC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{\sin 135 ^\circ} = \frac{\mathrm{\overline{PC}}}{\sin 30 ^\circ}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = 2 \sqrt{3} \times \frac{\sin 30 ^\circ}{\sin 135 ^\circ} = \sqrt{6}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{b}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} + b ^{2} - 2 \times 2 \sqrt{2} \times b \times \cos 60 ^\circ$ $\displaystyle b ^{2} - 2 \sqrt{2} b - 4 = 0$ $b > 0$이므로 $\displaystyle b = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{\sin 60 ^\circ} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sin C}$이므로 $\displaystyle \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $A = 60 ^\circ$에서 $C < 120 ^\circ$이므로 $C = 45 ^\circ$ $\mathrm{\angle} PCA = 45 ^\circ - 15 ^\circ = 30 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{APC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \left( \sqrt{2} + \sqrt{6} \right) \times \sin 30 ^\circ$$\displaystyle = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$