사인법칙과 삼각형 넓이

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이가 $9 \pi$이므로 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 $R = 3$ 조건 (가)에서 $3 \sin A = 2 \sin B$이므로 $\displaystyle \frac{3 a}{2 R} = \frac{2 b}{2 R}$ $\therefore$ $3 a = 2 b$ 조건 (나)에서 $\cos B = \cos C$이므로 $\angle \mathrm{B} = \angle C$ $\therefore$ $b = c$

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos A$$\displaystyle = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 bc}$$\displaystyle = \frac{b ^{2} + b ^{2} - \left( \frac{2}{3} b \right) ^{2}}{2 b ^{2}}$$\displaystyle = \frac{7}{9}$ $\sin A$$\displaystyle = \sqrt{1 - \left( \frac{7}{9} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2 R$, $\displaystyle a = 2 \times 3 \times {\frac{4 \sqrt{2}}{9}}$$\displaystyle = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{2} a \right) \times \left( \frac{3}{2} a \right) \times \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} a ^{2}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left( \frac{8 \sqrt{2}}{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{64 \sqrt{2}}{9}$