대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사인법칙과 외접원

문제

그림과 같이 BC‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 6인 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 선분 AC{\mathrm{AC}}를 4:34 : 3으로 내분하는 점을 D{\mathrm{D}}라 하자. 선분 BD{\mathrm{BD}} 위의 점 E{\mathrm{E}}가 ∠DAE=∠DBC\angle {\mathrm{DAE}} = \angle {\mathrm{DBC}}, sin⁡(∠DAE):sin⁡(∠EDA)=1:3\sin \left( \angle {\mathrm{DAE}} \right) : \sin \left( \angle {\mathrm{EDA}} \right) = 1 : 3 을 만족시킨다. AE‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = \sqrt{5}일 때, 삼각형 BCD{\mathrm{BCD}}의 외접원의 넓이는? [4점]

①18011π\displaystyle \frac{180}{11} \pi②19511π\displaystyle \frac{195}{11} \pi③21011π\displaystyle \frac{210}{11} \pi④22511π\displaystyle \frac{225}{11} \pi⑤24011π\displaystyle \frac{240}{11} \pi

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①

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해설

∠DAE=α\angle {\mathrm{DAE}} = \alpha, ∠EDA=β\angle {\mathrm{EDA}} = \beta라 하자. 삼각형 ADE{\mathrm{ADE}}에서 사인법칙에 의하여 DE‾sin⁡α=AE‾sin⁡β\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{DE}}}}{\sin \alpha} = \frac{{\overline{\mathrm{AE}}}}{\sin \beta}이고, sin⁡α:sin⁡β=1:3\sin \alpha : \sin \beta = 1 : 3이므로 DE‾:AE‾=1:3\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} : {\overline{\mathrm{AE}}} = 1 : 3 AE‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = \sqrt{5}이므로 DE‾=53\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{\sqrt{5}}{3} ∠DBC=∠DAE=α\angle {\mathrm{DBC}} = \angle {\mathrm{DAE}} = \alpha이므로 sin⁡(∠DBC)=sin⁡α\sin \left( \angle {\mathrm{DBC}} \right) = \sin \alpha sin⁡(∠CDB)=sin⁡(π−β)=sin⁡β\sin \left( \angle {\mathrm{CDB}} \right) = \sin \left( \pi - \beta \right) = \sin \beta 삼각형 BCD{\mathrm{BCD}}에서 사인법칙에 의하여 CD‾sin⁡(∠DBC)=BC‾sin⁡(∠CDB)\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{DBC}} \right)} = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{CDB}} \right)}, CD‾sin⁡α=BC‾sin⁡β\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{\sin \alpha} = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \beta}이고, sin⁡α:sin⁡β=1:3\sin \alpha : \sin \beta = 1 : 3이므로 CD‾:BC‾=1:3\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = 1 : 3 CD‾=13BC‾=13×6=2\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{1}{3} \times 6 = 2 AD‾:DC‾=4:3\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = 4 : 3이므로 AD‾=43DC‾=83\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \frac{4}{3} {\overline{\mathrm{DC}}} = \frac{8}{3} 삼각형 ADE{\mathrm{ADE}}에서 코사인법칙에 의하여 AE‾2=DA‾2+DE‾2−2×DA‾×DE‾×cos⁡(∠EDA)\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{DA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DE}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{DA}}} \times {\overline{\mathrm{DE}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{EDA}} \right) (5)2=(83)2+(53)2−2×83×53×cos⁡β\displaystyle \left( \sqrt{5} \right) ^{2} = \left( \frac{8}{3} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) ^{2} - 2 \times \frac{8}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \cos \beta cos⁡β=325\displaystyle \cos \beta = \frac{3}{2 \sqrt{5}} sin⁡β=1−cos⁡2β=1−(325)2=1125\displaystyle \sin \beta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \beta} = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{2 \sqrt{5}} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{5}} 삼각형 BCD{\mathrm{BCD}}의 외접원의 반지름의 길이를 RR이라 하면 삼각형 BCD{\mathrm{BCD}}에서 사인법칙에 의하여 BC‾sin⁡(∠CDB)=2R\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{CDB}} \right)} = 2 R, 6sin⁡β=2R\displaystyle \frac{6}{\sin \beta} = 2 R, 61125=2R\displaystyle \frac{6}{\frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{5}}} = 2 R R=6511\displaystyle R = \frac{6 \sqrt{5}}{\sqrt{11}} 따라서 삼각형 BCD{\mathrm{BCD}}의 외접원의 넓이는 18011π\displaystyle \frac{180}{11} \pi

태그

#사인법칙#코사인법칙

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