사인법칙과 외접원

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 : 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = 3 : 1$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 3 b$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = b$ $\left( a > 0 , b > 0 \right)$이라 하자. 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} \mathit{=} {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2} \mathit{-} 2 \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{BD}}} \times \cos \theta$ $\displaystyle 4 a ^{2} = 2 + 9 b ^{2} - 2 \times \sqrt{2} \times 3 b \times \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\angle {\mathrm{ADC}} = \mathit{\pi} - \theta$이므로 삼각형 ${\mathrm{ADC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} \mathit{=} {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} \mathit{-} 2 \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times \cos \left( \pi - \theta \right)$ $\displaystyle a ^{2} = 2 + b ^{2} - 2 \times \sqrt{2} \times b \times \left( - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $9 b ^{2} - 3 b + 2 = 4 b ^{2} + 4 b + 8$ $5 b ^{2} - 7 b - 6 = \left( 5 b + 3 \right) \left( b - 2 \right) = 0$ $\displaystyle b = - \frac{3}{5}$ 또는 $b = 2$ $b > 0$이므로 $b = 2$ ㉡에 $b = 2$를 대입하면 $a ^{2} = 8$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = 2 \sqrt{2}$ $\theta$는 예각이므로 $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{\sin \theta} = 2 R$, $\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = 2 R$, $\displaystyle R = \frac{8}{\sqrt{7}}$ 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$의 외접원의 넓이는 $\displaystyle \frac{64}{7} \pi$ 따라서 $p = 7$, $q = 64$이므로 $p + q = 71$