사인법칙과 코사인법칙으로 외접원 구하기

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \sqrt{13}$이고, $\displaystyle \mathrm{\angle} BAC = \frac{\pi}{3}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \mathit{x}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인 법칙에 의하여 $\displaystyle \left( \sqrt{13} \right) ^{2}$$\displaystyle = 3 ^{2} + x ^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle = 3 ^{2} + x ^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$ 이므로 $x = 4$이다. $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \mathit{4}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $S _{1}$이다. $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin \frac{\pi}{3} = 3 \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이는 $S _{2}$이고, $\displaystyle S _{2} = \frac{5}{6} S _{1}$이다. $\therefore$ $\displaystyle S _{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ $\mathrm{\angle} ADC = \theta$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} = 9$이므로 $S _{2}$는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9 \times \sin \theta = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ $\therefore$ $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{ADC} \right) = \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 외접원의 반지름의 길이가 $R$이다. 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\mathit{\sin} \theta} = 2 \mathit{R}$, $\displaystyle \frac{4}{\frac{5 \sqrt{3}}{9}} = 2 \mathit{R}$, $\displaystyle R = \frac{18}{5 \sqrt{3}}$ 이다. $\therefore$ $\displaystyle \frac{R}{\sin \left( \angle \mathrm{ADC} \right)} = \frac{\frac{18}{5 \sqrt{3}}}{\frac{5 \sqrt{3}}{9}} = \frac{54}{25}$