대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사인법칙과 코사인법칙

문제

그림과 같이

AB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3, BC‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{a}, AC‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 4 인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 원에 내접하고 있다. 이 원의 반지름의 길이를 RR라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. a=5a = 5이면 R=52\displaystyle R = \frac{5}{2}이다. ㄴ. R=4R = 4이면 a=8sin⁡Aa = 8 \sin A이다. ㄷ. 1<a≤13\displaystyle 1 < a \leq \sqrt{13}일 때, ∠A\mathrm{\angle} A의 최대값은 60∘60 ^\circ이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 삼각형과 삼각함수에 대한 성질을 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. a=5a = 5 이면 △ABC 는 직각삼각형이므로 변 BC 는 원의 지름이다. ∴ R=52\displaystyle R = \frac{5}{2} (참) ㄴ. 사인법칙에 의해 a=2Rsin⁡Aa = 2 R \sin A ∴ a=2⋅4⋅sin⁡A=8sin⁡Aa = 2 \cdot 4 \cdot \sin A = 8 \sin A (참) ㄷ. 1<a2≤131 < a ^{2} \leq 13이고 제이코사인법칙에 의하여 a2=b2+c2−2bccos⁡Aa ^{2} = b ^{2} + c ^{2} - 2 bc \cos A 이므로 cos⁡A=32+42−a22⋅3⋅4=25−a224\displaystyle \cos A = \frac{3 ^{2} + 4 ^{2} - a ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{25 - a ^{2}}{24} ∴ 12≤cos⁡A<1\displaystyle \frac{1}{2} \leq \cos A < 1 ∴ 0∘<A≤60∘0 ^\circ < A \leq 60 ^\circ 따라서 ∠A\angle A의 최대값은 60∘60 ^\circ이다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

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