사인법칙 넓이

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin A} = \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin B}$ 이고 $2 \sin A = \sin B$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 {\overline{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = k$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 k$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 6 ^{2} = k ^{2} + \left( 2 k \right) ^{2} - 2 \times k \times 2 k \times \frac{4}{5}$ $\displaystyle \frac{9}{5} k ^{2} = 36$이고, $k > 0$이므로 $\displaystyle k = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle \cos C = \frac{4}{5}$에서 $\displaystyle \sin C = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{2}} = \frac{3}{5}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5} \times \frac{3}{5} = 12$