사인방정식 실근의 합

[출제의도] 삼각함수가 포함된 방정식 문제 해결하기 자연수 $n$에 대하여 $0 \leq x \leq 4$일 때, $x$에 대한 방정식 $\displaystyle \sin \pi x - \frac{\left( - 1 \right) ^{n + 1}}{n} = 0$의 실근의 합은 함수 $y = \sin \pi x$의 그래프가 직선 $\displaystyle y = \frac{\left( - 1 \right) ^{n + 1}}{n}$과 만나는 점의 $x$좌표의 합과 같다. 함수 $y = \sin \pi x$의 주기는 $2$이다. (ⅰ) $n = 1$일 때, 함수 $y = \sin \pi x$의 그래프가 직선 $y = 1$과 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{5}{2}$이므로 $f \left( 1 \right) = 3$이다.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{5}{2}$

(ⅱ) $n = 2$일 때, 함수 $y = \sin \pi x$의 그래프가 직선 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{2}$과 만나는 점의 $x$좌표를 $a$, $b$, $c$, $d$라 하면 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = \frac{3}{2}$, $\displaystyle \frac{c + d}{2} = \frac{7}{2}$에서 $f \left( 2 \right) = 10$이다.

$\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{7}{2}$ $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{2}$

(ⅲ) $n = 3$일 때, 함수 $y = \sin \pi x$의 그래프가 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{3}$과 만나는 점의 $x$좌표를 $a'$, $b'$, $c'$, $d'$이라 하면 $\displaystyle \frac{a' + b'}{2} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{c' + d'}{2} = \frac{5}{2}$에서 $f \left( 3 \right) = 6$이다.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{5}{2}$ $d'$ $\displaystyle y = \frac{1}{3}$

(ⅳ) $n \geq 4$일 때, (ⅱ), (ⅲ)과 같은 방법으로 $n$이 짝수일 때 $f \left( n \right) = 10$, $n$이 $1$이 아닌 홀수일 때 $f \left( n \right) = 6$이다. $\therefore$$f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right) + f \left( 5 \right)$ $= 3 + 10 + 6 + 10 + 6 = 35$