사인방정식 두 근

[출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

함수 $y = \sin x$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = \sin x$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 두 점의 $x$좌표 $\alpha , \beta$에 대하여 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$, 즉 $\alpha + \beta = \pi$이므로 $\beta = \pi - \alpha$이다. $\displaystyle \frac{\beta - \alpha}{2}$$\displaystyle = \frac{\left( \pi - \alpha \right) - \alpha}{2}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \alpha$이므로 $\displaystyle \sin \frac{\beta - \alpha}{2}$$\displaystyle = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$$= \cos \alpha$$\displaystyle = \frac{5}{7}$ 따라서 $k ^{2}$$= \sin ^{2} \alpha$$= 1 - \cos ^{2} \alpha$$\displaystyle = 1 - \left( \frac{5}{7} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{24}{49}$이므로 $\displaystyle k = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$이다.