사인·코사인법칙 선분

출제의도 : 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가? 주어진 원의 반지름의 길이를 $r ( r > 0 )$이 라 하면 삼각형 $ABP$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = 3 \sqrt{3}$이므로 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle r ^{2} + r ^{2} - 2 \times r \times r \times \cos A = ( 3 \sqrt{3} ) ^{2}$ $\displaystyle 2 r ^{2} - 2 r ^{2} \times \left( - \frac{1}{2} \right) = 27$ $3 r ^{2} = 27$ $r ^{2} = 9$ $r = 3$ 이때 $\sin B : \sin C = 5 : 3$이므로 삼각형 $ABC$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} : \overline{\mathrm{AB}} = 5 : 3$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = r = 3$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 5$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times \cos A$ $\displaystyle = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times \left( - \frac{1}{2} \right)$ $= 49$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 7$ 한편, 그림과 같이 직선 $\mathrm{AC}$가 원과 만 나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\displaystyle \cos A = - \frac{1}{2}$ 에서 $\angle \mathrm{BAP} \mathit{=} 120 ^\circ$ 이므로 $\angle \mathrm{BAD} \mathit{=} 60 ^\circ$ 이다. 즉, 삼각형 $\mathrm{ADB}$는 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형이다. 이때, 삼각형 $\mathrm{CPQ}$와 삼각형 $\mathrm{CBD}$는 $\angle \mathrm{C}$가 공통이고 원의 성질에 의하여 $\angle \mathrm{CPQ} = \angle \mathrm{CBD}$ 이므로 서로 닮음이다. 즉, $\displaystyle \overline{{\mathrm{CP}}} : \overline{{\mathrm{CB}}} = \overline{{\mathrm{PQ}}} : \overline{{\mathrm{BD}}}$ 에서 $\displaystyle 2 : 7 = \overline{{\mathrm{PQ}}} : 3$ 이므로 $\displaystyle 7 \overline{{\mathrm{PQ}}} = 6$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \frac{6}{7}$