대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사인 코사인 관계 보기

문제

π<α<2π,π<β<2π\pi < \alpha < 2 \pi , \pi < \beta < 2 \pi인 서로 다른 두 각 α,β\alpha , \beta에 대하여,sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta를 만족할 때, <보 기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. sin⁡(α+β)=1\sin \left( \alpha + \beta \right) = 1 ㄴ. cos⁡2α+cos⁡2β=1\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta = 1 ㄷ. tan⁡α+tan⁡β=1\tan \alpha + \tan \beta = 1

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 삼각함수 사이의 관계 이해하기 ㄱ. (반례) α=2π−π3,β=32π−π3\displaystyle \alpha = 2 \pi - \frac{\pi}{3} , \beta = \frac{3}{2} \pi - \frac{\pi}{3}이면, sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta 이지만 sin⁡(α+β)=12\displaystyle \sin \left( \alpha + \beta \right) = \frac{1}{2} (거짓) ㄴ. sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta 이므로 cos⁡2α+cos⁡2β=cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta = \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha = 1 (참) ㄷ. (반례) α=2π−π3,β=32π−π3\displaystyle \alpha = 2 \pi - \frac{\pi}{3} , \beta = \frac{3}{2} \pi - \frac{\pi}{3}이면, sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta이지만 tan⁡α+tan⁡β=−233\displaystyle \tan \alpha + \tan \beta = - \frac{2}{3} \sqrt{3} (거짓) 참고 : π<α<2π,π<β<2π\pi < \alpha < 2 \pi , \pi < \beta < 2 \pi에 대하여 sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta인 경우는 α=π+θ,β=32π−θ\displaystyle \alpha = \pi + \theta , \beta = \frac{3}{2} \pi - \theta (단, 0<θ≤π2\displaystyle 0 < \theta \leq \frac{\pi}{2})이고 α=2π−θ,β=32π−θ\displaystyle \alpha = 2 \pi - \theta , \beta = \frac{3}{2} \pi - \theta (단, 0<θ≤π2\displaystyle 0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}) 일 때, 성립한다.

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