대수삼각함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사인·코사인 그래프의 대칭과 근의 차

문제

0<k<10 < k < 1인 상수 kk에 대하여 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi일 때, 방정식 sin⁡x=k\sin x = k의 두 근을 α,β\alpha , \beta (α<β\alpha < \beta), 방정식 cos⁡x=k\cos x = k의 두 근을 γ,δ\gamma , \delta (γ<δ\gamma < \delta)라 하자. β−α=π5\displaystyle \beta - \alpha = \frac{\pi}{5}일 때, δ−γ\delta - \gamma의 값은? [4점] ①85π\displaystyle \frac{8}{5} \pi②1710π\displaystyle \frac{17}{10} \pi③95π\displaystyle \frac{9}{5} \pi④1910π\displaystyle \frac{19}{10} \pi⑤2π2 \pi

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③

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해설

0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi에서 곡선 y=sin⁡xy = \sin x와 직선 y=ky = k (0<k<10 < k < 1)가 만나는 두 점의 xx좌표 α,β\alpha , \beta는 직선 x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}에 대하여 대칭이므로 α+β=π\alpha + \beta = \pi β−α=π5\displaystyle \beta - \alpha = \frac{\pi}{5}와 연립하면 α=25π,β=35π\displaystyle \alpha = \frac{2}{5} \pi , \beta = \frac{3}{5} \pi k=sin⁡25π=cos⁡(π2−25π)=cos⁡π10\displaystyle k = \sin \frac{2}{5} \pi = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2}{5} \pi \right) = \cos \frac{\pi}{10} 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi에서 곡선 y=cos⁡xy = \cos x와 직선 y=ky = k가 만나는 두 점의 xx좌표 γ,δ\gamma , \delta는 직선 x=πx = \pi에 대하여 대칭이므로 γ=π10,δ=2π−π10=1910π\displaystyle \gamma = \frac{\pi}{10} , \delta = 2 \pi - \frac{\pi}{10} = \frac{19}{10} \pi 따라서 δ−γ=1910π−π10=95π\displaystyle \delta - \gamma = \frac{19}{10} \pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9}{5} \pi이다. ③

태그

#삼각함수 그래프#대칭성#방정식의 근

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