사인 합성 변곡점

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구한다. $g ( x ) = \sin \left( x ^{2} + ax + b \right)$이므로 $g' ( x ) = \left( 2 x + a \right) \cos \left( x ^{2} + ax + b \right)$ 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\left( - 2 x + a \right) \cos \left( x ^{2} - ax + b \right) = \mathit{-} \left( 2 x + a \right) \cos \left( x ^{2} + ax + b \right)$ $x = 0$을 대입하면 $a \cos b = 0$ $\displaystyle 0 < b < \frac{\pi}{2}$에서 $\cos b \ne 0$이므로 $a = 0$ $g ( x ) = \sin \left( x ^{2} + b \right)$ $g' ( x ) = 2 x \cos \left( x ^{2} + b \right)$ $g'' ( x ) = 2 \cos \left( x ^{2} + b \right) - 4 x ^{2} \sin \left( x ^{2} + b \right)$ 조건 (나)에서 점 $\left( k , g \left( k \right) \right)$는 곡선 $y = g \left( x \right)$의 변곡점이므로 $g'' \left( k \right) = 0$ $2 \cos \left( k ^{2} + b \right) - 4 k ^{2} \sin \left( k ^{2} + b \right) = 0$ …… ㉠ $k = 0$이면 $\displaystyle 0 < b < \frac{\pi}{2}$에서 $\cos b \ne 0$이므로 ㉠이 성립하지 않고, $\cos \left( k ^{2} + b \right) = 0$이면 ㉠에서 $\sin \left( k ^{2} + b \right) = 0$이므로 $\sin ^{2} \left( k ^{2} + b \right) + \cos ^{2} \left( k ^{2} + b \right) = 1$이 성립하지 않는다. 따라서 $k \ne 0$, $\cos \left( k ^{2} + b \right) \ne 0$ ㉠에서 $\displaystyle \tan \left( k ^{2} + b \right) = \frac{1}{2 k ^{2}}$ …… ㉡ 조건 (나)에서 $\displaystyle 2 k \sin \left( k ^{2} + b \right) = 2 \sqrt{3} k \cos \left( k ^{2} + b \right)$ $\displaystyle \tan \left( k ^{2} + b \right) = \sqrt{3}$ …… ㉢ ㉡, ㉢에서 $\displaystyle \frac{1}{2 k ^{2}} = \sqrt{3}$ $\displaystyle k ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ㉡에서 $\displaystyle \tan \left( \frac{\sqrt{3}}{6} + b \right) = \sqrt{3}$이고 $\displaystyle 0 < b < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6} + b = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle b = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ 따라서 $a + b$$\displaystyle = 0 + \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$$\displaystyle = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}$