미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사인 곡선 사이 넓이 급수

문제

자연수 nn에 대하여 구간 [0,π][ 0 , \pi ]에서 두 곡선 y=1nsin⁡x\displaystyle y = \frac{1}{n} \sin x, y=1n+1sin⁡x\displaystyle y = \frac{1}{n + 1} \sin x로 둘러싸인 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞∑k=1nSk\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} S _{k}의 값은? [3점] ①11②2\displaystyle \sqrt{2}③22④π2\displaystyle \frac{\pi}{2}⑤π\pi

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 정적분을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 1nsin⁡x=1n+1sin⁡x\displaystyle \frac{1}{n} \sin x = \frac{1}{n + 1} \sin x에서 sin⁡x=0\sin x = 0 ∴\thereforex=0,πx = 0 , \pi Sn=∫0π(1nsin⁡x−1n+1sin⁡x)dx\displaystyle S _{n} = \int _{0} ^{\pi} \left( \frac{1}{n} \sin x - \frac{1}{n + 1} \sin x \right) dx=2(1n−1n+1)\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) ∴\therefore lim⁡n→∞∑k=1nSk=lim⁡n→∞∑k=1n2(1k−1k+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} S _{k} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)=lim⁡n→∞2(1−1n+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 2 \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)=2= 2 <참고> 구하는 값은 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi에서 곡선 y=sin⁡xy = \sin x와 xx축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

태그

#넓이#급수#부분분수

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