사인 방정식 실근의 합

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - \frac{7}{8} = 0$에서 $\displaystyle \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{7 \sqrt{3}}{16}$ $\displaystyle t = x + \frac{\pi}{3}$라 하면 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{7}{3} \pi$ $\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{16} < \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 방정식 $\displaystyle \sin t = \frac{7 \sqrt{3}}{16}$$\displaystyle \left( \frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{7}{3} \pi \right)$는 두 실근 $t _{1}$, $t _{2}$$\left( t _{1} < t _{2} \right)$를 갖는다. $\displaystyle t _{1} = x _{1} + \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle t _{2} = x _{2} + \frac{\pi}{3}$ ($x _{1}$, $x _{2}$는 실수)라 하면 $t _{2} = 2 \pi + \left( \pi - t _{1} \right)$이므로 $\displaystyle t _{1} + t _{2} = \left( x _{1} + \frac{\pi}{3} \right) + \left( x _{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 3 \pi$ 방정식 $\displaystyle \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{7 \sqrt{3}}{16}$의 모든 실근의 합은 $\displaystyle x _{1} + x _{2} = 3 \pi - \frac{2}{3} \pi = \frac{7}{3} \pi$ 따라서 $p + q = 10$

$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \frac{7}{3} \pi$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle y = \frac{7 \sqrt{3}}{16}$ $y = \sin t$