사인 방정식 실근 개수의 합

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 i) $n = 1 , 2$일 때, $\displaystyle \frac{3}{n} > 1$이므로 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{3}{n}$의 실근의 개수 $a _{1} = a _{2} = 0$ ii) $n = 3$일 때, $\displaystyle \frac{3}{n} = 1$이므로 방정식 $\displaystyle \sin x = \frac{3}{n}$의 실근의 개수 $a _{3} = 2$ iii) $n \geq 4$일 때, 자연수 $k$$( k \geq 2 )$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} n & ( n = 2 k ) \\ n + 1 & ( n = 2 k + 1 ) \end{cases}}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} a _{n} = 0 + 0 + 2 + 4 + 6 + 6 + 8 = 26$