대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사인 방정식 해의 합

문제

0≤x<80 \leq x < 8일 때, 방정식 sin⁡πx2\displaystyle \sin \frac{\pi x}{2}=34\displaystyle = \frac{3}{4}의 모든 해의 합을 구하시오. [3점]

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해설

y=sin⁡πx2\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2}는 2ππ2\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{2}}이므로 주기는 44이다. 0≤x≤80 \leq x \leq 8일 때 sin⁡πx2=34\displaystyle \sin \frac{\pi x}{2} = \frac{3}{4}을 만족시키는 해는 아래 그래프와 같이 α,β,γ,δ\alpha , \beta , \gamma , \delta라 하자.

(ⅰ) y=sin⁡πx2\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2}의 그래프와 y=34\displaystyle y = \frac{3}{4}의 교점의 xx좌표를 α\alpha, β\beta라 하면 두 값의 평균은 11이므로 α+β2=1\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = 1에서 α+β=2\alpha + \beta = 2이다. (ⅱ) y=sin⁡πx2\displaystyle y = \sin \frac{\pi x}{2}의 그래프와 y=34\displaystyle y = \frac{3}{4}의 교점의 xx좌표를 γ\gamma, δ\delta라 하면 두 값의 평균은 55이므로 γ+δ2=5\displaystyle \frac{\gamma + \delta}{2} = 5에서 γ+δ=10\gamma + \delta = 10이다. 따라서 α+β+γ+δ=2+10=12\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 + 10 = 12

태그

#삼각방정식#대칭성

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