기하공간벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

사각뿔 최단경로 내적

문제

그림과 같이 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형이고 밑면은 한 변의 길이가 22인 정사각형인 사각뿔 O−ABCD\mathrm{O} - ABCD에서 ∠AOB=30∘\mathrm{\angle} AOB = 30 ^\circ이다. 점 A\mathrm{A}에서 출발하여 사각뿔의 옆면을 따라 모서리 OB\mathrm{OB} 위의 한 점과 모서리 OC\mathrm{OC} 위의 한 점을 거쳐 점 D\mathrm{D}에 도착하는 최단경로를 ll이라 하자. ll 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}의 최댓값을 a3+b\displaystyle a \sqrt{3} + b라 할 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 유리수이다.) [4점]

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해설

최단경로 ll이 선분 OB\mathrm{OB}, OC\mathrm{OC}와 만나는 점을 각각 E\mathrm{E}, F\mathrm{F}라 하고 주어진 입체를 전개도로 나타내면 다음 그림과 같다.

위 전개도에서 최단경로 ll은 선분 AD\mathrm{AD}이다. 따라서 점 P\mathrm{P}는 전개도의 선분 AD\mathrm{AD} 위에 있다. (ⅰ) 점 P\mathrm{P}가 선분 AE\mathrm{AE} 위에 있는 경우 AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}=AB⃗⋅(OA⃗+AP⃗)= \mathrm{\vec{AB}} \cdot \left( \vec{OA} + \vec{AP} \right)=AB⃗⋅OA⃗+AB⃗⋅AP⃗= \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OA} + \vec{AB} \cdot \vec{AP}

삼각형 OAB\mathrm{OAB}가 OA‾=OB‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \overline{OB}인 이등변삼각형이므로 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하면 선분 OM\mathrm{OM}은 선분 AB\mathrm{AB}를 수직이등분한다. ∴ OA‾cos⁡(∠OAB)=AM‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} \cos ( \angle \mathrm{OAB} ) = \overline{\mathrm{AM}} = 1 ∴ AB⃗⋅AO⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AO}=AB‾⋅AO‾cos⁡(∠OAB)\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{AO} \cos ( \angle \mathrm{OAB} )=2⋅1=2= 2 \cdot 1 = 2 ∴ AB⃗⋅OA⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OA}=−AB⃗⋅AO⃗= - \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AO}=−2= - 2 삼각형 OAD\mathrm{OAD}는 직각이등변삼각형이므로 ∠OAD=45∘\mathrm{\angle} OAD = 45 ^\circ 삼각형 OAB\mathrm{OAB}가 이등변삼각형이고 ∠AOB=30∘\mathrm{\angle} AOB = 30 ^\circ이므로 ∠OAB=∠OBA=75∘\angle \mathrm{OAB} = \angle OBA = 75 ^\circ ∴ ∠EAB\mathrm{\angle} EAB=∠OAB−∠OAE\mathrm{=} \angle OAB - \angle OAE=30∘= 30 ^\circ 따라서 삼각형 ABE\mathrm{ABE}는 ∠BAE=30∘\mathrm{\angle} BAE = 30 ^\circ이고 AB‾=AE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AE}인 이등변삼각형이다. ∴ AB⃗⋅AP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AP}=AB‾⋅AP‾cos⁡(∠EAB)\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{AP} \cos ( \angle EAB ) =2⋅AP‾cos⁡30∘\displaystyle = 2 \cdot \overline{\mathrm{AP}} \cos 30 ^\circ=3×AP‾\displaystyle = \sqrt{3} \times \overline{\mathrm{AP}} ∴ AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}=AB⃗⋅OA⃗+AB⃗⋅AP⃗= \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OA} + \vec{AB} \cdot \vec{AP} =−2+3AP‾\displaystyle = - 2 + \sqrt{3} \overline{\mathrm{AP}} 0≤AP‾≤2\displaystyle 0 \leq \overline{\mathrm{AP}} \leq 2이므로 AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}는 AP‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2, 즉 점 P\mathrm{P}가 점 E\mathrm{E}에 있을 때 최댓값 −2+23\displaystyle - 2 + 2 \sqrt{3}을 갖는다. (ⅱ) 점 P\mathrm{P}가 선분 EF\mathrm{EF} 위에 있는 경우 AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}=AB⃗⋅(OA⃗+AE⃗+EP⃗)= \mathrm{\vec{AB}} \cdot \left( \vec{OA} + \vec{AE} + \vec{EP} \right) =AB⃗⋅OA⃗+AB⃗⋅AE⃗+AB⃗⋅EP⃗= \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OA} + \vec{AB} \cdot \vec{AE} + \vec{AB} \cdot \vec{EP}

(ⅰ)에서 AB⃗⋅OA⃗+AB⃗⋅AE⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OA} + \vec{AB} \cdot \vec{AE}=−2+23\displaystyle = - 2 + 2 \sqrt{3} ∠AEB=∠OBC\mathrm{\angle} AEB = \angle OBC이므로 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}//BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}이다. 그런데 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}는 정사각형이므로 AB‾⊥BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp \overline{BC}이다. 따라서 EP⃗⊥AP⃗\mathrm{\vec{EP}} \perp \vec{AP}이므로 AB⃗⋅EP⃗=0\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{EP} = 0이다. ∴ AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}=AB⃗⋅OA⃗+AB⃗⋅AE⃗+AB⃗⋅EP⃗= \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OA} + \vec{AB} \cdot \vec{AE} + \vec{AB} \cdot \vec{EP} =−2+23\displaystyle = - 2 + 2 \sqrt{3} (ⅲ) 점 P\mathrm{P}가 선분 EF\mathrm{EF} 위에 있는 경우 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 정사각형이므로 AB⃗=DC⃗\mathrm{\vec{AB}} = \vec{DC}

AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}=DC⃗⋅OP⃗= \mathrm{\vec{DC}} \cdot \vec{OP}=DC⃗⋅(OD⃗+DP⃗)= \mathrm{\vec{DC}} \cdot \left( \vec{OD} + \vec{DP} \right) =DC⃗⋅OD⃗+DC⃗⋅DP⃗= \mathrm{\vec{DC}} \cdot \vec{OD} + \vec{DC} \cdot \vec{DP}

(ⅰ)과 같은 방법으로 AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}는 DP‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{DP}} = 2, 즉 점 P\mathrm{P}가 점 F\mathrm{F}에 있을 때 최댓값 −2+23\displaystyle - 2 + 2 \sqrt{3}을 갖는다. (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 AB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{OP}는 점 P\mathrm{P}가 선분 EF\mathrm{EF} 위에 있을 때, 최댓값 −2+23\displaystyle - 2 + 2 \sqrt{3}를 갖는다. ∴ a=−2a = - 2, b=2b = 2 ∴ a2+b2=(−2)2+22=8a ^{2} + b ^{2} = ( - 2 ) ^{2} + 2 ^{2} = 8

태그

#내적#전개도#최단경로

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