공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사각형의 무게중심

문제

다음은 □ABCD\square \mathrm{ABCD}의 무게중심 G\mathrm{G}를 구하는 과정이다.

위의 □ABCD\square \mathrm{ABCD}에서 △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 무게중심을 G1\mathrm{G} _{1}, △ACD\triangle \mathrm{ACD}의 무게중심을 G2\mathrm{G} _{2}라 하자. G1,G2\mathrm{G} _{1} , G _{2}를 지나는 가늘고 긴 막대 위에 사각형을 올려 놓으면 △ABC\triangle \mathrm{ABC}와 △ACD\triangle \mathrm{ACD}가 모두 평형을 이루기 때문에 □ABCD\square \mathrm{ABCD}는 평형을 이룬다. 따라서 무게중심 G\mathrm{G}는 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} G _{2}위에 있다. 이때 △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 넓이와 △ACD\triangle \mathrm{ACD}의 넓이의 비가 m:nm : n이면 □ABCD\square \mathrm{ABCD}의 무게중심 G\mathrm{G}의 좌표는 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} G _{2}를 n:mn : m으로 내분하는 점이다.

위의 □ABCD\square \mathrm{ABCD}에서 △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 무게중심을 G1\mathrm{G} _{1}, △ACD\triangle \mathrm{ACD}의 무게중심을 G2\mathrm{G} _{2}라 하자. G1,G2\mathrm{G} _{1} , G _{2}를 지나는 가늘고 긴 막대 위에 사각형을 올려 놓으면 △ABC\triangle \mathrm{ABC}와 △ACD\triangle \mathrm{ACD}가 모두 평형을 이루기 때문에 □ABCD\square \mathrm{ABCD}는 평형을 이룬다. 따라서 무게중심 G\mathrm{G}는 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} G _{2}위에 있다. 이때 △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 넓이와 △ACD\triangle \mathrm{ACD}의 넓이의 비가 m:nm : n이면 □ABCD\square \mathrm{ABCD}의 무게중심 G\mathrm{G}의 좌표는 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} G _{2}를 n:mn : m으로 내분하는 점이다.

위의 설명에 따라 좌표평면 위의 네 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(4,0)\mathrm{A} ( 4 , 0 ), B(2,4)\mathrm{B} ( 2 , 4 ), C(0,2)\mathrm{C} ( 0 , 2 )를 꼭짓점으로 하는 □OABC\square \mathrm{OABC}의 무게중심의 좌표를 구하면 G(α,β)\mathrm{G} \left( \alpha , \beta \right)이다. α+β\alpha + \beta의 값은? [4점]

①125\displaystyle \frac{12}{5}②165\displaystyle \frac{16}{5}③185\displaystyle \frac{18}{5}④225\displaystyle \frac{22}{5}⑤265\displaystyle \frac{26}{5}

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②

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해설

[출제의도] 삼각형의 무게중심을 이용하여 수학 내적문제 해결하기 △OAB,△OBC\triangle \mathrm{OAB} , \triangle OBC의 무게중심을 각각 G1,G2\mathrm{G} _{1} , \mathrm{G} _{2}라 하면 G1(2,43),G2(23,2)\displaystyle \mathrm{G} _{1} \left( 2 , \frac{4}{3} \right) , \mathrm{G} _{2} \left( \frac{2}{3} , 2 \right)이다. △OAB,△OBC\triangle \mathrm{OAB} , \triangle OBC의 넓이는 각각 8,28 , 2이므로 △OAB:△OBC=4:1\triangle \mathrm{OAB} : \triangle OBC = 4 : 1이고, 무게중심은 선분 G1G2\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2}를 1:41 : 4로 내분하는 점이다. 따라서 G(2615,2215)\displaystyle \mathrm{G} \left( \frac{26}{15} , \frac{22}{15} \right)이다. ∴α+β=4815=165\displaystyle \therefore \alpha + \beta = \frac{48}{15} = \frac{16}{5}

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#무게중심#내분점

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