사각형 넓이와 코사인

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = \mathit{k} _{1}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = \mathit{k} _{2}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2 ^{2} = k _{1} ^{2} + \left( 2 \sqrt{15} \right) ^{2} - 2 \times k _{1} \times 2 \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4}$ 삼각형 $\mathrm{OAQ}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2 ^{2} = k _{2} ^{2} + \left( 2 \sqrt{15} \right) ^{2} - 2 \times k _{2} \times 2 \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4}$ 이므로 두 실수 $k _{1}$, $k _{2}$는 이차방정식 $\displaystyle 2 ^{2} = x ^{2} + \left( 2 \sqrt{15} \right) ^{2} - 2 \times x \times 2 \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4}$ 의 서로 다른 두 실근이다. $x ^{2} - 15 x + 56 = \left( x - 7 \right) \left( x - 8 \right) = 0$ 에서 $k _{1} > k _{2}$이므로 $k _{1} = 8$, $k _{2} = 7$

$\cos \left( \angle \mathrm{OPA} \right) = \cos \left( \angle \mathrm{OQA} \right)$이므로 $\angle \mathrm{OPA} = \angle \mathrm{OQA}$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 외접원을 $C$라 하면 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 양수이므로 점 $\mathrm{Q}$도 원 $C$ 위의 점이다. $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{OPA} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right) ^{2}} = \frac{1}{4}$이므로 원 $C$의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{OA}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{OPA} \right)} = 8 = 2 \mathit{R}$ 그러므로 선분 $\mathrm{OP}$는 원 $C$의 지름이다. $\displaystyle \angle \mathrm{PAO} = \angle \mathrm{OQP} = \frac{\pi}{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{OPQ}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \sqrt{8 ^{2} - 7 ^{2}} = \sqrt{15}$ 사각형 $\mathrm{OAPQ}$의 넓이는 두 직각삼각형 $\mathrm{OAP}$, $\mathrm{OPQ}$의 넓이의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{15} + \frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{15} = \frac{11}{2} \sqrt{15}$ 에서 $p = 2$, $q = 11$ 따라서 $p \times q = 22$