사각형 넓이 합

[출제의도] 수열의 합을 활용하여 문제해결하기

점 $\mathrm{H}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하고 점 $\mathrm{E}$에서 선분 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 하자. 두 선분 $\mathrm{HF}$, $\mathrm{HI}$와 선분 $\mathrm{EJ}$가 만나는 점을 각각 $\mathrm{K}$, $\mathrm{L}$이라 하고, 선분 $\mathrm{EG}$와 선분 $\mathrm{HF}$가 만나는 점을 $\mathrm{N}$이라 하면 $\angle \mathrm{HKL} = \angle \mathrm{NKE}$이고, $\angle \mathrm{KLH} = \angle \mathrm{ENK} = 90 ^\circ$ 이므로 $\angle \mathrm{KEN} = \angle \mathrm{LHK}$ 또한 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} = {\overline{\mathrm{EJ}}}$이고 $\angle \mathrm{FIH} = \angle \mathrm{GJE} = 90 ^\circ$이므로 두 삼각형 $\mathrm{HFI}$, $\mathrm{EGJ}$는 합동이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} = {\overline{\mathrm{HF}}} = \sqrt{4 n ^{2} + 1}$ $S _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{4 n ^{2} + 1} \times \sqrt{4 n ^{2} + 1}$$\displaystyle = \frac{4 n ^{2} + 1}{2} = 2 n ^{2} + \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 2 n ^{2} + \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle = 2 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{1}{2} \times 10$ $= 775$