사각형 넓이 최솟값

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 문제 해결하기 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 각각 $\mathrm{P} ( \mathit{t} , 2 t ^{2} + 1 )$, $\mathrm{Q} ( \mathit{t} , - ( t - 3 ) ^{2} + 1 )$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$= \mathit{2} t ^{2} + ( t - 3 ) ^{2} = 3 t ^{2} - 6 t + 9$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$= 3$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp {\overline{PQ}}$이므로 사각형 $\mathrm{PAQB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\displaystyle = \frac{3}{2} \left( 3 \mathit{t} ^{2} - 6 t + 9 \right)$이다. 사각형 $\mathrm{PAQB}$의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $0 < t < 3$에서 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{3}{2} \left( 3 t ^{2} - 6 t + 9 \right) = \frac{9}{2} \left( t - 1 \right) ^{2} + 9$ $S \left( t \right)$는 $t = 1$일 때 최솟값 $9$를 갖는다. 따라서 사각형 $\mathrm{PAQB}$의 넓이의 최솟값은 $9$이다.