사각형 넓이 최댓값

[출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 도형 문제해결하기

$\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \mathit{a}$라 하면 $\triangle \mathrm{PBQ}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{\sqrt{2}} a$이다. $\triangle \mathrm{APR}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \mathit{6} - \sqrt{2} a$인 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \mathit{\sqrt{2}} ( 6 - \sqrt{2} a )$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \overline{BC} - \overline{BQ} = \mathit{6} \sqrt{2} - a$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{PQCR} = \frac{\mathit{1}}{2} \times ( 6 \sqrt{2} - 2 a + 6 \sqrt{2} - a ) \times a$ $\displaystyle = 6 \sqrt{2} a - \frac{3}{2} a ^{2}$ $\displaystyle = - \frac{3}{2} ( a ^{2} - 4 \sqrt{2} a + 8 - 8 )$ $\displaystyle = - \frac{3}{2} ( a - 2 \sqrt{2} ) ^{2} + 12$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \mathit{2} \sqrt{2}$일 때, $\mathrm{} PQCR$의 넓이의 최댓값은 $12$이다. [다른풀이] $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \mathit{2} x$라 하면 삼각형 $\mathrm{APR}$의 넓이는 $2 x ^{2}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = \mathit{6} - 2 x$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \overline{PQ} = \mathit{3} \sqrt{2} - \sqrt{2} x$이므로 삼각형 $\mathrm{PBQ}$의 넓이는 $( 3 - x ) ^{2}$이다. 따라서 사각형 $\mathrm{PQCR}$의 넓이가 최대가 되기 위해서는 두 삼각형 $\mathrm{APR}$와 $\mathrm{PBQ}$의 넓이의 합이 최소가 되어야 한다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APR}$와 $\mathrm{PBQ}$의 넓이의 합은 $3 x ^{2} - 6 x + 9$이므로 $x = 1$일 때, 넓이의 최솟값이 $6$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $18$이므로 사각형 $\mathrm{PQCR}$의 넓이의 최댓값은 $18 - 6 = 12$이다.