미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사각형 넓이 최댓값

문제

사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 ∠ABC=π2\displaystyle \angle \mathrm{ABC} = \frac{\pi}{2}, AB‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4, BC‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 5, BD‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = 6 일 때, 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 넓이의 최대값은? [3점]

①341\displaystyle 3 \sqrt{41}②342\displaystyle 3 \sqrt{42}③343\displaystyle 3 \sqrt{43}④611\displaystyle 6 \sqrt{11}⑤95\displaystyle 9 \sqrt{5}

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①

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해설

∠DBC=θ\angle \mathrm{DBC} = \theta, 사각형ABCD\mathrm{ABCD}의 넓이를 SS라 하면 S=12×5×6×sin⁡θ+12×4×6×sin⁡(π2−θ)\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin \theta + \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) =15sin⁡θ+12cos⁡θ= 15 \sin \theta + 12 \cos \theta=341sin⁡(θ+α)\displaystyle = 3 \sqrt{41} \sin ( \theta + \alpha ) (단, cos⁡α=541\displaystyle \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}, sin⁡α=441\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{41}}) 따라서, 최대값은 341\displaystyle 3 \sqrt{41}이다.

태그

#삼각함수의 합성#최대

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