미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사각형 넓이 최대

문제

두 곡선 y=x3,y=−x3+2xy = x ^{3} , y = - x ^{3} + 2 x의 교점 중 제11사분면에 있는 점을 A\mathrm{A}라 하고, 두 곡선 y=x3,y=−x3+2xy = x ^{3} , y = - x ^{3} + 2 x와 직선 x=kx = k (0<k<1)( 0 < k < 1 )의 교점을 각각 B,C\mathrm{B} , C라 하자. 사각형 OBAC\mathrm{OBAC}의 넓이가 최대가 되도록 하는 실수 kk의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①13\displaystyle \frac{1}{3}②34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}③23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

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⑤

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해설

x3=−x3+2xx ^{3} = - x ^{3} + 2 x에서 x(x−1)(x+1)=0x ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 0이므로 점 A\mathrm{A}의 xx좌표는 11이다. 점 O\mathrm{O}와 점 A\mathrm{A}에서 직선 x=kx = k에 이르는 거리를 각각 aa, bb라 하면 (사각형 OBAC\mathrm{OBAC}의 넓이) ==(△OBC\mathrm{OBC}의 넓이)++(△ABC\mathrm{ABC}의 넓이) =12BC‾×a+12BC‾×b\displaystyle = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} \times a + \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} \times b =12BC‾\displaystyle = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} (∵ a+b=1a + b = 1) =12{(−k3+2k)−k3}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ ( - k ^{3} + 2 k ) - k ^{3} \right\} =−k3+k= - k ^{3} + k (0<k<10 < k < 1) f(k)=−k3+kf ( k ) = - k ^{3} + k(0<k<10 < k < 1)라 할 때, f′(k)=−3k2+1f' ( k ) = - 3 k ^{2} + 1이고 f′(k)=0f' ( k ) = 0에서 k=33\displaystyle k = \frac{\sqrt{3}}{3}이다.

kk00⋯33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}⋯11
f′(k)f' ( k )++00−-
f(k)f ( k )↗극대↘

위의 증감표에 의하여 f(k)f ( k )는 k=33\displaystyle k = \frac{\sqrt{3}}{3}일 때, 극대이자 최대이다. 따라서 구하는 kk의 값은 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}이다.

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#최댓값#증감표

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