사각형 대각선 제곱

[출제의도] 피타고라스의 정리를 이용하여 방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다. △ABD와 △BCD는 직각삼각형이고 빗변이 일치하므로 $9 ^{2} + y ^{2} = x ^{2} + 7 ^{2}$ $x ^{2} - y ^{2} = 32$ $( x - y ) ( x + y ) = 32$ $x , y$가 모두 자연수이므로 $\displaystyle \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 16 \end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 8 \end{cases}$ 연립하여 풀면, $\displaystyle \begin{cases} x = 9 \\ y = 7 \end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$ 그런데 네 변의 길이는 서로 다른 자연수이므로 $x = 6 , y = 2$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{BD}} ^{2} = 9 ^{2} + 2 ^{2} = 6 ^{2} + 7 ^{2} = 85$