색종이 접기 넓이 최대

[출제의도] 미분법을 이용하여 도형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다.

색종이를 접었을 때 호 $\mathrm{A} P$와 선분 $\mathrm{A} B$의 교점을 $\mathrm{Q}$, 접힌 색종이를 다시 폈을 때 점 $\mathrm{Q}$가 호 $\mathrm{A} B$위에 있게 되는 점을 $\mathrm{Q}'$이라 하자. 도형 $\mathrm{AQP}$와 도형 $\mathrm{APQ}'$은 합동이므로 $S ( \theta )$는 호 $\mathrm{AP}$와 현 $\mathrm{AP}$로 둘러싸인 도형에서 호 $\mathrm{AQ}'$과 현 $\mathrm{AQ}'$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 뺀 것이다. $S ( \theta )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ ( \pi - 2 \theta ) - \sin ( \pi - 2 \theta ) \right\}$ $\displaystyle - \frac{1}{2} \left\{ ( \pi - 4 \theta ) - \sin ( \pi - 4 \theta ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( 2 \theta - \sin 2 \theta + \sin 4 \theta )$ $S' ( \theta )$$= 2 \cos 4 \theta - \cos 2 \theta + 1$ $= 2 ( \cos ^{2} 2 \theta - \sin ^{2} 2 \theta ) - \cos 2 \theta + 1$ $= 2 ( 2 \cos ^{2} 2 \theta - 1 ) - \cos 2 \theta + 1$ $= 4 \cos ^{2} 2 \theta - \cos 2 \theta - 1$ $S' ( \theta ) = 0$에서 $\displaystyle 4 \left( \cos 2 \theta - \frac{1 + \sqrt{17}}{8} \right) \left( \cos 2 \theta - \frac{1 - \sqrt{17}}{8} \right) = 0$ 따라서 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}$에서 $0 < \cos 2 \theta < 1$이므로 $\displaystyle \cos 2 \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$인 $\theta$에서 $S ( \theta ) = 0$이다. $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}$에서 $\displaystyle \cos 2 \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$를 만족시키는 $\theta$를 $\theta _{0}$이라 하면 $\theta < \theta _{0}$일 때 $S' ( \theta ) > 0$이고 $\theta > \theta _{0}$일 때 $S' ( \theta ) < 0$이므로 $S ( \theta )$는 $\theta = \theta _{0}$에서 최댓값을 갖는다. 그러므로 $\theta _{0} = \alpha$ 따라서 $\displaystyle \cos 2 \alpha = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$